Descartes 1643-ban megfogalmazott „körérintési tétele” négy egymással érintkező kör kapcsolatát írta le. Ennek általánosítása a négynél több kört tartalmazó konfigurációkra, az úgynevezett „n-virágokra” azonban évszázadokon át megoldatlan maradt. Ezt az évszázadok óta fennálló matematikai rejtélyt fejtette most meg sikeresen Daniel Mathews docens és Orion Zymaris doktorandusz.
A megoldás kulcsa a spinorok alkalmazása – ezek olyan matematikai objektumok, amelyeket elsősorban a kvantummechanikában és a relativitáselméletben használnak. „A Nobel-díjas Roger Penrose és Wolfgang Rindler által kifejlesztett spinorokat alkalmaztuk, amelyeket eredetileg a relativitáselméletben használtak” – magyarázta Zymaris. Figyelemre méltó, hogy ezek a spinorok képesek tisztázni az egymást érintő körök geometriáját is. „Ugyanazok a matematikai struktúrák, amelyek a kvantum spint és a relativitáselméletet írják le, segítenek megérteni a körök közötti kapcsolatokat is” – tette hozzá Zymaris.
Mi az a spinor?
A spinor egy matematikai fogalom, amely a fizikai térben való forgatások során viselkedő speciális objektumokat jelöl. Míg egy egyszerű vektor 360 fokos forgatás hatására visszatér eredeti állapotába, egy spinor csak 720 fokos forgatás után jut vissza ugyanoda. A fizikában leggyakrabban az elemi részecskék (például elektronok) belső forgási tulajdonságainak („spin”) leírására használják. Matematikailag a spinorok komplex számokból álló, különleges szimmetriával rendelkező objektumok, melyek rendkívül hasznosnak bizonyulnak a kvantummechanikában, a relativitáselméletben és – amint ez a példa mutatja – még a geometriában is.
Történeti érdekesség, hogy Descartes eredetileg Erzsébet pfalzi hercegnő számára fogalmazta meg ezt a problémát, hiszen úgy vélte, hogy újonnan kidolgozott derékszögű koordináta-rendszere révén képes lesz megoldani azt. Teljes megoldást azonban nem talált, így leegyszerűsítette a problémát, ebből lett a klasszikus Descartes-tétel. Ezt a tételt az évszázadok során többször is újra felfedezték, így Yamaji Nushizumi (1751), Jakob Steiner (1826), William Beecroft (1842), valamint különösen Frederick Soddy (1936), aki elhíresült mód költői formában is összefoglalta.
A Monash-csoport kutatása az első explicit, általánosan alkalmazható egyenletet szolgáltatja tetszőleges számú érintkező körre, ezzel új irányokat nyit a körtömörítés elméletében – ez a geometria egy olyan kulcsterülete, ahol a „virágok” alapvető építőelemként szolgálnak.
Mathews szerint ez az eredmény „izgalmas példája annak, hogy a klasszikus problémák hogyan inspirálhatnak új matematikai felfedezéseket évszázadokkal később is.”
A felfedezés nemcsak matematikailag jelentős, hanem jól példázza a modern matematika interdiszciplináris jellegét, amely összeköti a geometriát, a kvantummechanikát és a relativitáselméletet.
„Hihetetlen belegondolni, hogy egy kérdés, amellyel Descartes az 1600-as években küszködött, még mindig képes új válaszokat szolgáltatni számunkra” – zárta gondolatait Mathews.
(A cikkhez használt kép csak illusztráció, forrása: Pixabay)
Itt állíthatod be, hogy a Rakéta az elsők között legyen a Google keresőben
