A matematikusok régóta tudják, hogy sokféle végtelen létezik. Georg Cantor már 1878-ban felfedezte, hogy a valós számok végtelenje (ebben benne vannak a törtek és a tizedesjegyek is) – sokkal nagyobb, mint a természetes számoké. Ebből a felismerésből nőtt ki egy egészen bizarr dolog: a végtelenség hierarchiája, amelyben minden szint meghaladja az előzőt. Egy új felfedezés azonban most épp ezt a gondosan konstruált modellt fenyegeti.

Juan Aguilera vezetésével a Bécsi Műszaki Egyetem kutatói ugyanis rögtön két új típusú végtelent is javasoltak: az első az úgynevezett “exacting cardinals”, amit magyarul precíz vagy szigorúan meghatározott számosságoknak lehetne fordítani, a másik az “ultra-exacting cardinals”, amit ultra-precíz vagy ultra-szigorúan meghatározott számosságoknak. A “cardinals” szó itt egyébként a halmazelméletben használt kardinális számosságokra utal, amelyek az infinitezimális nagyságrendek közötti különbségeket jelölik. Minderről a New Scientist cikke számolt be.

Ezek az új végtelenek tehát épp attól különlegesek, mert nem illeszkednek a fentebb említett, meglévő hierarchiába. Mint azt Aguilera magyarázta:

“Nagyon furcsán viszonyulnak a végtelenség más fogalmaihoz.”

Az új végtelenek különleges tulajdonságokkal bírnak: annyira hatalmasak, hogy saját szerkezetük pontos másolatait tartalmazzák, akár egy ház, amely a saját, több teljes méretű modelljét hordozza magában. Az ultra-szigorúan meghatározott számosságok ráadásul ennél is tovább mennek, mivel nemcsak a szerkezetet, hanem annak építési szabályait is magukban foglalják – mintha egy ház a saját tervrajzaiból is felépülne. És épp ez az önmagukra utaló jelleg az, ami alapjaiban rengeti meg a halmazelmélet szabályait, amelyek a modern matematika fundamentumai. A halmazelméletről, annak születéséről, és hogy miként lehet megérteni könnyen, korábban már mi is írtunk:

Az angol, aki kinyírta a matematikát: Bertrand Russell Az 1800-as évek végén Gottlob Frege megpróbálta megalapozni a matematikát a szimbolikus logika segítségével. Aztán jött Bertrand Russell, és jól széttrollkodta az egészet. Elmondjuk, hogy lehet ezt könnyen megérteni.

Röviden a következő a lényeg: a halmazelmélet a 20. század elejére vezethető vissza, és olyan axiómákra épül, mint például a sokat vitatott választási axióma. Ez az elv lehetővé teszi új halmazok létrehozását úgy, hogy elemeket választunk ki a meglévő halmazokból anélkül, hogy megadnánk a választás pontos módját. Bár ezt az eljárást kezdetben tehát viták övezték, ma már kulcsfontosságú szerepet játszik a végtelenség hierarchiájának a rendezésében. Maga a hierarchia ugyanis három fő régióra oszlik: az “enyhébb” alsó régióra, ahol a végtelenek minden axiómához igazodnak; a “kaotikus” felső régióra, ahol az axiómák felbomlanak; és egy köztes régióra, amely a rend és a káosz határán helyezkedik el.

A szigorúan és az ultra-szigorúan meghatározott számosságok azonban nem feltétlen illeszkednek ebbe a rendszerbe. Lehetséges, hogy a középső régió tetején helyezkednek el, de az is elképzelhető, hogy egy különálló, negyedik régiót alkotnak, ami pedig tehát megingatná a jelenlegi struktúrát. Mindez ráadásul még komolyabb következményekkel is jár, mivel ez kérdéseket vetne fel a HOD-sejtéssel (Hereditarily Ordinal Definable) kapcsolatban is, ami egy megoldatlan matematikai probléma, amely szerint a matematikai rend a legnagyobb skálákon is fennáll.

Ha ezek az új végtelenek ugyanis elfogadásra kerülnek, megcáfolhatják a HOD-sejtést, és ez azzal járhat, hogy – Philipp Lücke, a mostani tanulmány mögött álló egyik matematikus szavaival élve:

“a káosz uralkodik”

Mások, például Gabriel Goldberg a Kaliforniai Egyetemről, ennél optimistábbak, szerintük ugyanis mindez nem a káosz uralmát jelenti, hanem éppen egy még mélyebb matematikai rend kezd feltárulni. Bármi legyen is azonban a végkimenetel, a végtelenről és a matematikai univerzumról alkotott elképzeléseink alapjaiban változhatnak meg.

(Kép: Pixabay/5zal_Photography)